a) dễ dàng chứng minh được EN = NH = NF= 1/2 AM (đường trung tuyến tg vuông)
ta có MNH = NAH + NHA = 2NAH 
MNF= NAF + NFA = 2NAF
\Rightarrow MNH + MNF = 2NAH + 2NAF \Rightarrow HNF = 60*\Rightarrow tg HNF là tam giác đều (1)
Ta có MNE = NAE + NEA = 2NAE 
MNH = NAH + NHA = 2NAH
\Leftrightarrow MNE - MNH=2NAE-2NAH \Leftrightarrow ENH = 60* \Rightarrow tg ENH là tg đều (2)
Từ (1) và (2) suy ra EN = NF=FH= HE \Rightarrow ENFH là hình thoi
b) I là trực tâm của tam giác đều ABC \Rightarrow I cũng là trọng tâm của tam giác ABC.
lấy K là trung điểm của AI \Rightarrow AK=KI=IH 
Gọi giao điẻm của EF và NH là O \Rightarrow HO = ON
tg KNH có IO là đường trung bình \Rightarrow IO // KN (3)
tg AIM có KN là đường trung bình \Rightarrow KN // MI (4)
Từ (3) và (4) suy ra M,I,O thẳng hàng
\Rightarrow dpcm

b: Xét tứ giác AIHK có 

\(\widehat{KAI}=\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=90^0\)

Do đó: AIHK là hình chữ nhật

Suy ra: IK=AH

a) Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên 
=> EI = DI ( = ½ AM) 
=> Tam giác EID cân tại I 
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên: 
^EIM = 2^EAI và ^MID = 2^IAD 
=> ^EID = ^EIM + ^MID = 2(^EAI + ^IAD) = 2^EAD = 2. 30 = 60 độ 
(Vì AD là đường cao nên là phan giác ^A) 
Tam giác EID cân lại có ^EID = 60 độ nên đều 
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE => Tứ giác DEIF là hình thoi 
b) Gọi O là giao EF và DI và K là trung điểm AH, ta có IK là trng bình tam giác AMH và OH là trung bình tam giác AID. 
=> HO//IK và HM//IK 
=> Tia HO và HM trùng nhau hay M, H, O thẳng hàng => MH, ID, EF đồng quy tại O 

tam giác can

OH là trung bình của tam giác AID ?

ta mới chỉ có OI=OD (DEIF là hình thoi) còn HK=HD ta chưa biết mà. làm sao ra chỉ mình với

a: Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{MEA}=\widehat{MFA}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật

Câu b là chứng minh EF = \(\frac{AC}{2}\) nha

Mình gõ nhầm xíu

a)

Vì \(\hept{\begin{cases}NF\perp AC\\BH\perp AC\end{cases}}\Rightarrow NF//BH\)

\(\hept{\begin{cases}NF//AB\\NB=NC\end{cases}}\Rightarrow\)NF là đường trung bình 

=> \(NF=\frac{1}{2}BH\)

Ta lại có :

\(\hept{\begin{cases}ME\perp AC\\BH\perp AC\end{cases}}\Rightarrow ME//BH\)

\(\hept{\begin{cases}BH//ME\\AM=MB\end{cases}\Rightarrow}\)ME là đường trung bình của tam giác 

=> \(ME=\frac{1}{2}BH\)

Vì \(\hept{\begin{cases}NF=\frac{1}{2}BH\\ME=\frac{1}{2}BH\end{cases}}\Rightarrow ME=NF\)

Xong a 

Srr nha cỗ đường trung bình ah làm tắt đó phải cm AE = EH ; HF = FC mới suy ra đường trung bình nha em tự sửa

Vì ME là là đường trung bình 

=> AE =EH 

Vì NF là đường trung bình 

=> HF = FC

=> AE + FC = EH +HF

=> EH + HF = \(\frac{1}{2}AC\)

=> EF = \(\frac{1}{2}AC\)

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)